Octahedrons with equally many lattice points and generalizations

While counting lattice points in octahedra of different dimensions n and m, it is an interesting question to ask, how many octahedra exist containing equally many such points. This gives rise to the Diophantine equation Pn(x) = Pm(y) in rational integers x, y, where {Pk(x)} denote special Meixner polynomials {M (β,c) k (x)} with β = 1, c = −1. We join the purely algebraic criterion of Y. Bilu and R. F. Tichy (The Diophantine equation f(x) = g(y), Acta Arith. 95 (2000), no. 3, 261–288) with a famous result of P. Erdös and J. L. Selfridge (The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19 (1975), 292–301) and prove that M (β,c1) n (x) = M (β,c2) m (y) with m,n ≥ 3, β ∈ Z \ {0,−1,−2,−max(n,m) + 1} and c1, c2 ∈ Q \ {0, 1} only admits a finite number of integral solutions x, y. Some more results on polynomial families in three-term recurrences are presented. Résumé. Dans l’étude du dénombrement de sommets d’octaèdres de dimensions n et m se pose la question intéressante de connâıtre combien d’octaèdres existent possédant le même nombre de sommets. Ce problème se traduit par l’équation diophantienne Pn(x) = Pm(y), avec x, y entiers relatifs et où {Pk(x)} sont les polynômes spéciaux de Meixner avec β = 1, c = −1. Nous joignons au critère purement algébrique de Y. Bilu et R. F. Tichy (The Diophantine equation f(x) = g(y), Acta Arith. 95 (2000), no. 3, 261–288) un fameux résultat dû à P. Erdös et J. L. Selfridge (The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19 (1975), 292–301) et prouvons que M (β,c1) n (x) = M (β,c2) m (y) avec m,n ≥ 3, β ∈ Z \ {0,−1,−2,−max(n,m) + 1} et c1, c2 ∈ Q \ {0, 1} n’admet qu’un nombre fini de solutions entières x, y. De plus, nous présentons quelques résultats portant sur des familles polynômiales avec triple récurrence.